Question

18．已知點（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=f（n）-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}前2016項中的第3項，第6項，…，第3k項刪去，求數(shù)列{a_n}前2016項中剩余項的和．

Answer 1

分析 （1）把點（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x，得a=2．可得：S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，利用遞推關系即可得出．
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為2，故其第3項，第6項，…，第2 016項也為等比數(shù)列，首項a₃=2^3-1=4，公比2³=8，a₂₀₁₆=2²⁰¹⁵=4×8^672-1為其第672項，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）把點（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x，得a=2．
∴S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，
當n=1時，a₁=S₁=2¹-1=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
經(jīng)驗證可知n=1時，也適合上式，
∴a_n=2^n-1．…（6分）
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為2，
故其第3項，第6項，…，第2 016項也為等比數(shù)列，首項a₃=2^3-1=4，公比2³=8，
a₂₀₁₆=2²⁰¹⁵=4×8^672-1為其第672項，
∴此數(shù)列的和為$\frac{{4（1-{8^{672}}）}}{1-8}=\frac{{4（{2^{2016}}-1）}}{7}$，
又數(shù)列{a_n}的前2 016項和為${S_{2016}}=\frac{{1×（1-{2^{2016}}）}}{1-2}={2^{2016}}-1$，
∴所求剩余項的和為（2²⁰¹⁶-1）-$\frac{{4（{2^{2016}}-1）}}{7}$=$\frac{{3（{2^{2016}}-1）}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．