Question

3．已知，如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AC=BC=2，沿其中位線DE將平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱錐A-BCDE，設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q．

（1）求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面；
（2）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用中位線定理可得PQ∥DE∥MN，故PQ∥MN，于是四點(diǎn)共面；
（2）利用折疊前后的垂直關(guān)系不變性可得出DE⊥平面ADC，又DE∥BC，故而BC⊥平面DAC，于是平面ABC⊥平面ACD；
（3）四棱錐的底面為直角梯形，高為AD，代入公式計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，
∴PQ∥DE，MN∥DE，
∴PQ∥MN，
∴M，N，P，Q四點(diǎn)共面．
（2）∵折疊前DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，
∵BC⊥AB，∴DE⊥AB．
∴折疊后DE⊥AD，DE⊥CD，
又折疊后AD?平面ADC，CD?平面ADC，AD∩CD=D，
∴DE⊥平面ADC，又∵DE∥BC，
∴BC⊥平面DAC，∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．
（3）∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，AD⊥DE，
∴AD⊥平面BCDE，
∵DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}BC=1$，AD=CD=$\frac{1}{2}AC$=1，
∴四棱錐A-BCDE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×1$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面的基本性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計(jì)算，注意折疊前后的變量與不變量是解題關(guān)鍵．