Question

10．已知正三棱椎的棱長(zhǎng)為3，則它的內(nèi)切球的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{8}π$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}π$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}π$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}π$

Answer 1

分析 連結(jié)球心與三棱錐的頂點(diǎn)，則將三棱錐分解成四個(gè)高為內(nèi)切球半徑的小三棱錐，利用體積相等列出方程解出內(nèi)切球半徑．

解答 解：∵正三棱椎的棱長(zhǎng)為3，∴正三棱錐的高為$\sqrt{6}$．
∴正三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×\sqrt{6}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則球心到三棱錐四個(gè)面的距離均為r，
∴連結(jié)球心與三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，則將正三棱錐分解成四個(gè)底面相等，高為r的小三棱錐．
∴4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×r$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．解得r=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴內(nèi)切球的體積為$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{8}π$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐與球的關(guān)系，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，使用分解法求體積是常用方法．