Question

5．已知函數(shù)f（x）=cosx+ax²-1，a∈R，若對于任意的實數(shù)x恒有f（x）≥0，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 對于任意的實數(shù)x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax²-1≥0，即ax²≥1-cosx≥0，顯然a≥0，運用參數(shù)分離和二倍角公式可得2a≥（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²，求出右邊函數(shù)的范圍，即可得到a的范圍．

解答 解：對于任意的實數(shù)x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax²-1≥0，
即ax²≥1-cosx≥0，顯然a≥0，
x=0時，顯然成立；由偶函數(shù)的性質(zhì)，只要考慮x＞0的情況．
當(dāng)x＞0時，a≥$\frac{1-cosx}{{x}^{2}}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}}{{x}^{2}}$，
即為2a≥（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²，
由x＞0，則$\frac{x}{2}$=t＞0，考慮sint-t的導(dǎo)數(shù)為cost-1≤0，
即sint-t遞減，即有sint-t＜0，即sint＜t，
則有$\frac{sint}{t}$＜1，故（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²＜1，
即有2a≥1，解得a≥$\frac{1}{2}$．
則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運用：判斷單調(diào)性，屬于中檔題．