Question

16．若函數(shù)f（x）=（2x²-ax-6a²）•ln（x-a）的值域是[0，+∞），則實數(shù)a=-$\frac{2}{5}$或1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關系先求出兩個函數(shù)的零點，根據(jù)函數(shù)的值域得到在定義域內兩個函數(shù)的函數(shù)值同號，即可得到結論．

解答 解：f（x）=（x-2a）（2x+3a）ln（x-a），
由f（x）=0得x=2a，或x=-$\frac{3a}{2}$，或x=a+1，
若a=0，則f（x）=2x²•lnx，則函數(shù)的值域為（-∞，+∞），不滿足條件．
若a＞0，則函數(shù)的定義域為x＞a，此時函數(shù)f（x）的零點為x=2a，x=a+1，
設y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
要使函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），則函數(shù)y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
則定義域（a，+∞）上函數(shù)值的符號相同，
即兩個函數(shù)的零點相等即2a=a+1，得a=1，
若a＜0，則函數(shù)的定義域為x＞a，此時函數(shù)f（x）的零點為x=-$\frac{3a}{2}$，x=a+1，
設y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
要使函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），則函數(shù)y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
則定義域（a，+∞）上函數(shù)值的符號相同，
即兩個函數(shù)的零點相等即-$\frac{3a}{2}$=a+1，得a=-$\frac{2}{5}$，
綜上a=-$\frac{2}{5}$或a=1，
故答案為：-$\frac{2}{5}$或1．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件，利用構造法得到兩個函數(shù)的零點關系是解決本題的關鍵．注意要利用數(shù)形結合進行求解．