Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=CB=1，BA=2，AB∥DC，∠BCD=90°，點E、F、G分別是線段AB、PC、DE的中點．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：DF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）由已知可證四邊形AECD為平行四邊形，連接AC，可證FG∥PA，即可判定FG∥平面PAB．
（II）先證明PD⊥BC，CD⊥BC，即可證明BC⊥平面PCD，BC⊥DF，由PD=DC，F(xiàn)是線段PC的中點，可證DF⊥PC，即可證明DF⊥平面PBC．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（I）因為DC=1，BA=2，AB∥DC，E是線段AB的中點，所以AE∥DC，且AE=DC，所以四邊形AECD為平行四邊形．…（3分）
連接AC，則點G為AC的中點，在△PAC中，
點F、G分別是線段PC、AC的中點，所以FG∥PA，
又，F(xiàn)G?平面PAB，PA?平面PAB 所以FG∥平面PAB…（6分）
（II）因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因為DF?平面PCD，故BC⊥DF．…（9分）
因為PD=DC，F(xiàn)是線段PC的中點，所以DF⊥PC，
又PC∩BC=C，PC、BC?平面PBC，所以DF⊥平面PBC；…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．