Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xln（ax）（a＞0）
（Ⅰ）設(shè)F（x）=

1

2

f(1)x ²+f'（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）過兩點(diǎn)A（x₁，f′（x₁）），B（x₂f′（x₂））（x₁＜x₂）的直線的斜率為k，求證：

1

x2

＜k＜

1

x1

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，化簡F（x）=

1

2

f(1)x ²+f'（x），然后求解F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號，討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出過兩點(diǎn)A（x₁，f′（x₁）），B（x₂f′（x₂））（x₁＜x₂）的直線的斜率k的表達(dá)式，利用分析法證明

1

x2

＜k＜

1

x1

．轉(zhuǎn)化為證明1-

1

t

＜lnt＜t-1，通過左右兩個(gè)不等式，兩次構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值即可證明．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=ln（ax）+1，所以F(x)=

1

2

(lna)x2+ln(ax)+1，
函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），而F′(x)=(lna)x+

1

x

=

(lna)x2+1

x

．
…（2分）
①當(dāng)lna≥0時(shí)，即a≥1時(shí)，恒有F′（x）≥0，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)lna＜0，即0＜a＜1時(shí)，令F′（x）＞0，得（lna）x²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 lna

；
令F′（x）＜0，得（lna）x²+1＜0，解得x＞

- 1 lna

；
綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)F（x）在(0，

- 1 lna

)上為增函數(shù)，在(

- 1 lna

，+∞)上為減函數(shù)．                                           …（5分）
（Ⅱ）證明：k=

f′(x2)-f′(x1)

x2-x1

=

ln(ax2)-ln(ax1)

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

，…（6分）
要證

1

x2

＜k＜

1

x1

，因?yàn)閤₂-x₁＞0，
即證

x2-x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2-x1

x1

，令t=

x2

x1

，則t＞1，
則只要證1-

1

t

＜lnt＜t-1，…（8分）
①設(shè)g（t）=t-1-lnt，則g′(t)=1-

1

t

＞0(t＞1)，
故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
所以當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt成立．  …（10分）
②要證1-

1

t

＜lnt，由于t＞1，即證t-1＜tlnt，
設(shè)h（t）=tlnt-（t-1），則h'（t）=lnt＞0（t＞1），
故函數(shù)h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt成立．
由①②知成立，得證…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性分析法證明不等式以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力，是難題．