Question

16．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為3．若拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為$\frac{2}{3}$，則拋物線C₂的方程為（　�。�

• A． x²=33y
• B． x²=33y
• C． x²=8y
• D． x²=16y

Answer 1

分析 由題意可知：雙曲線漸近線為bx±ay=0，e=$\frac{c}{a}$=3，則c=3a，焦點（0，$\frac{p}{2}$），到bx±ay=0的距離d=$\frac{\frac{ap}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ap}{2c}$=$\frac{2}{3}$，求得p，即可求得拋物線C₂的方程．

解答 解：由題意可得雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）漸近線為y=±$\frac{a}$x，
化為一般式可得bx±ay=0，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=3，
解得：b=2$\sqrt{2}$a，c=3a，
又拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點為（0，$\frac{p}{2}$），
故焦點到bx±ay=0的距離d=$\frac{\frac{ap}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ap}{2c}$=$\frac{2}{3}$，
∴p=$\frac{4c}{3a}$=$\frac{4×3a}{3a}$=4，
∴拋物線C₂的方程為：x²=8y
故選C．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的簡單幾何性質，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于基礎題．