Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x，且x=3是f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值； 
（2）求f（x）在x∈[1，4]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²-2ax+3． 由于x=3是f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（3）=0，解出a并驗(yàn)證即可得出．
（2）f（x）=x³-5x²+3x．令f′（x）=3x²-10x+3=0，解得 x=3，或 x=$\frac{1}{3}$（舍去）．列出表格即可得出最值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+3，
∴f′（3）=27-6a+3=0，
∴a=5，
（2）由（1）知f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）=0，解得x=3，或x=$\frac{1}{3}$（舍去）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-
f（x）	-1	↗	-9	↘	-4

因此，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，4]上有最小值為f（3）=-9；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，4]上有最大值是f（1）=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題