Question

2．已知0＜x＜π，sinα、cosα是方程5x²-x+m=0的兩實(shí)根，求：
（1）m的值；
（2）求sinα、cosα、tanα的值；
（3）sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系列出關(guān)系式，整理即可求出m的值；
（2）利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系列出關(guān)系式，整理求出sinα-cosα的值，與已知等式聯(lián)立求出sinα與cosα的值，即可確定出tanα的值；
（3）原式利用立方和公式變形，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，將各自的值代入計(jì)算即可求值．

解答 解：（1）∵0＜α＜π，sinα、cosα是方程5x²-x+m=0的兩實(shí)根，
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，
∵（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{2m}{5}$=$\frac{1}{25}$，
解得：m=-$\frac{12}{5}$；
（2）∵sinα+cosα=$\frac{1}{5}$①，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{24}{25}$=$\frac{49}{25}$，
∴sinα-cosα=$\frac{7}{5}$②，
聯(lián)立①②解得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$；
（3）∵sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴原式=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=（sinα+cosα）（1-sinαcosα）=$\frac{1}{5}$×$\frac{37}{25}$=$\frac{37}{125}$．

點(diǎn)評 此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．