Question

12．已知m＞0，p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．
（1）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若m=5，“p∧q”為真命題，“p∨q”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過解不等式化簡命題p，將p是q的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為[-2，6]是[2-m，2+m]的真子集，列出不等式組，求出m的范圍．
（2）將復合命題的真假轉(zhuǎn)化為構(gòu)成其簡單命題的真假，分類討論，列出不等式組，求出x的范圍

解答 解：p：-2≤x≤6．
（1）∵p是q的充分不必要條件，
∴[-2，6]是[2-m，2+m]的真子集
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m≤-2}\\{2+m≥6}\end{array}\right.$，解得m≥4，
當m=4時，q為[-2，6]，不合題意，故舍去
∴實數(shù)m的取值范圍是（4，+∞）．
（2）當m=5時，q：-3≤x≤7．
據(jù)題意有，p與q一真一假p真q假時，由$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤6}\\{x＜-3或x＞7}\end{array}\right.$，解得x∈∅
p假q真時，由$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2或x＞6}\\{-3≤x≤7}\end{array}\right.$，解得-3≤x＜2或6＜x≤7，
∴實數(shù)x的取值范圍為[-3，-2）∪（6，7]．

點評 判斷一個命題是另一個命題的什么條件，一般先化簡各個命題再利用充要條件的定義判斷；解決復合命題的真假問題常轉(zhuǎn)化為簡單命題的真假情況．