Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+x-2，g（x）=x³+x²+（1-a）x-1．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P₀處的切線l平行于直線4x-y-1=0，且點(diǎn)P₀在第三象限，求點(diǎn)P₀的坐標(biāo)；
（2）若對(duì)任意的x∈R，都有g(shù)（x）＞f（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得切點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由題意可得x²-ax+1＞0恒成立，運(yùn)用判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+x-2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+1，
設(shè)P₀（m，n），由題意可得3m²+1=4，解得m=-1（1舍去），
n=-1-1-2=-4，即有P₀（-1，-4）；
（2）對(duì)任意的x∈R，都有g(shù)（x）＞f（x），
即為x²-ax+1＞0恒成立，
即有△＜0，即為a²-4＜0，
解得-2＜a＜2．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．