Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，φ∈R，若存在常數(shù)T（T＜0），使得對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x），則ω可取的最小值是π．

Answer 1

分析 根據(jù)條件確定T=-1，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：若存在常數(shù)T（T＜0），使得對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x），
則必有T=-1，
此時(shí)f（x-1）=-f（x）成立，
則sin[ω（x-1）+φ]=-sin（ωx+φ），
即sin（ωx+φ）+sin（ωx+φ-ω）=0，
即2sin$\frac{2ωx+2φ-ω}{2}$cos$\frac{ω}{2}$=0，
則必有cos$\frac{ω}{2}$=0，則$\frac{ω}{2}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
則ω=π+2kπ，k∈Z，
∵ω＞0，
∴當(dāng)k=0時(shí)，ω取得最小值ω=π，
故答案為：π

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件確定T的值是解決本題的關(guān)鍵．