Question

2．已知O為坐標原點，A，B為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個頂點，點P是雙曲線上異于A，B的一點，連接PO交橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1于點Q，設(shè)直線PA，PB，QA，QB的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，則k₁+k₂+k₃+k₄的值為（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意求出A、B的坐標，設(shè)P（x₀，y₀），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$化簡后，由斜率公式表示出k_PA+k_PB并化簡，同理設(shè)Q（x₁，y₁）并求出k_QA+k_QB，根據(jù)k_OP=k_OQ可得k₁+k₂+k₃+k₄的值．

解答 解：由題意可得，A（-a，0），B（a，0），如圖
設(shè)P（x₀，y₀），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$得，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，
則${{y}_{0}}^{2}=\frac{^{2}（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，則${{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{2{x}_{0}y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$
=$\frac{{2{x}_{0}y}_{0}}{\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{{2b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}$，
設(shè)Q（x₁，y₁），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，
則${{y}_{1}}^{2}=\frac{^{2}（{a}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）}{{a}^{2}}$，則${a}^{2}-{{x}_{1}}^{2}$=-$\frac{{a}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$，
∴k_QA+k_QB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{{2{x}_{1}y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}{x}_{1}}{{a}^{2}{y}_{1}}$，
由k_OP=k_OQ得$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=$\frac{{2b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}+$（-$\frac{{2b}^{2}{x}_{1}}{{a}^{2}{y}_{1}}$）=0，
即k₁+k₂+k₃+k₄的值是0，
故選：A．

點評 本題考查求雙曲線、橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查了化簡、變形能力．