Question

12．設(shè)定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的函數(shù)y=f（x）的圖象為C，A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂）），且（x，f（x））為圖象C上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)實(shí)數(shù)λ滿足x=λx₁+（1+λ）x₂時(shí)，記向量$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，若|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似，其中k是一個(gè)確定的正數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似，求k的取值范圍；
（2）已知函數(shù)g（x）=lnx的反函數(shù)為h（x），函數(shù)F（x）=[h（x）]^a-x，（a≠0），點(diǎn)C（x₁，F(xiàn)（x₁）），D（x₂，F(xiàn)（x₂）），記直線CD的斜率為μ，若x₁-x₂＜0，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使F′（x₀）＞μ成立？若存在，求x₀的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用平面向量的線性運(yùn)算與新定義的公式列出不等式求出k的取值范圍；
（2）由反函數(shù)的定義求出h（x）=e^x、F（x）與F′（x），構(gòu)造函數(shù)G（x）=F′（x）-μ，判斷G（x₁）、G（x₂）的符號(hào)，利用零點(diǎn)存在性定理得出結(jié)論．

解答 解：（1）由x=λx₁+（1-λ）x₂與$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，得N和M的橫坐標(biāo)相同；
對(duì)于區(qū)間[0，1]上的函數(shù)f（x）=x²，A（0，0）、B（1，1），
則有|$\overrightarrow{MN}$|=x-x²=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$；
∴|$\overrightarrow{MN}$|∈（0，$\frac{1}{4}$]，再由|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，可得k≥$\frac{1}{4}$；
故k的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）；…4分
（2）由題意知，h（x）=e^x，F(xiàn)（x）=[h（x）]^a-x=e^ax-x，
μ=$\frac{{e}^{{ax}_{2}}{-e}^{{ax}_{1}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$-1；
令G（x）=F′（x）-μ=ae^ax-$\frac{{e}^{{ax}_{2}}{-e}^{{ax}_{1}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$；則
G（x₁）=a${e}^{{x}_{1}}$-$\frac{{e}^{{ax}_{2}}{-e}^{{ax}_{1}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=-$\frac{{e}^{{ax}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[-a（x₂-x₁）+${e}^{a{{（x}_{2}-x}_{1}）}$-1]，
G（x₂）=$\frac{{e}^{{ax}_{2}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[-a（x₁-x₂）+${e}^{a{（x}_{1}{-x}_{2}）}$-1]；
令φ（t）=-t+e^t-1，則φ′（t）=-1+e^t；…8分，
當(dāng)t＜0時(shí)，φ′（t）＜0，φ（t）單調(diào)遞減；
當(dāng)t＞0時(shí)，φ′（t）＞0，φ（t）單調(diào)遞增；
故當(dāng)t≠0時(shí)，φ（t）＞φ（0）=0，即-t+e^t-1＞0；
又因?yàn)閤₁-x₂＜0，
從而-a（x₂-x₁）+${e}^{a{（x}_{2}{-x}_{1}）}$-1＞0，
-a（x₁-x₂）+${e}^{{a（x}_{1}{-x}_{2}）}$-1＞0，
所以G（x₂）＞0，G（x₁）＜0；
由零點(diǎn)存在性定理可得：存在c∈（x₁，x₂），使得G（c）=0；
又G′（x）=a²e^ax＞0，所以G（x）單調(diào)遞增，
故存在唯一的c，使得G（c）=0；
由G（c）=0，解得c=$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{2}}{-e}^{{ax}_{1}}}{a{（x}_{2}{-x}_{1}）}$；
故當(dāng)且僅當(dāng)x₀∈（$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{2}}{-e}^{{ax}_{1}}}{a{（x}_{2}{-x}_{1}）}$，x₂）時(shí)，F(xiàn)′（x₀）＞μ；
綜上所述，存在x₀∈（x₁，x₂），使F′（x₀）＞μ成立，
且x₀的取值范圍是（$\frac{1}{a}$ln$\frac{{e}^{{ax}_{2}}{-e}^{{ax}_{1}}}{a{（x}_{2}{-x}_{1}）}$，x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了平面向量與不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．