Question

16．（1）若$y={log_{\frac{1}{3}}}（m{x^2}+2x+m）$的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)$y={[{（\frac{1}{3}）^x}]^2}-2a•{（\frac{1}{3}）^x}+3$的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）依題意得：不等式mx²+2x+m＞0的解集為R，m=0時(shí)不滿足題意，因此$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4{m^2}＜0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（2）令t=$（\frac{1}{3}）^{x}$，由x∈[-1，1]，可得t∈$[\frac{1}{3}，3]$．于是y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²=f（t），對(duì)a分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）依題意得：不等式mx²+2x+m＞0的解集為R，m=0時(shí)不滿足題意，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4{m^2}＜0}\end{array}}\right.$⇒m＞1
（2）令t=$（\frac{1}{3}）^{x}$，∵x∈[-1，1]，∴t∈$[\frac{1}{3}，3]$．
∴y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²=f（t），
對(duì)稱軸為t=a，
當(dāng)$a＜\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（t）在t∈$[\frac{1}{3}，3]$上單調(diào)遞增，∴h（a）=$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{28-6a}{9}$；
當(dāng)$\frac{1}{3}≤a≤3$時(shí)，可得h（a）=f（a）=3-a²；
當(dāng)a＞3時(shí)，h（a）=f（3）=12-6a．
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28-6a}{9}，a＜\frac{1}{3}}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{3}≤a≤3}\\{-6a+12，a＞3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．