Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）分a=0、a≠0兩種情況利用奇偶性的定義討論即可；
（2）先去絕對值符號，分情況討論區(qū)間位置與對稱軸的關(guān)系即可；
（3）通過x∈[a，a+2]時化簡可知f（x）=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-a+$\frac{3}{4}$，討論區(qū)間[a，a+2]的中點(diǎn)與對稱軸x=-$\frac{1}{2}$的位置關(guān)系即得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此時f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時，∵f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，
∴f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a），
此時函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）①當(dāng)x≤a時，函數(shù)f（x）=x²-x+a+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+a+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1；
②當(dāng)x≥a時，函數(shù)f（x）=x²+x-a+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-a+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值是f（a）=a²+1；
綜上所述，當(dāng)-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值是a²+1；
（3）當(dāng)x∈[a，a+2]時，f（x）=x²+x-a+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-a+$\frac{3}{4}$，
①若$\frac{a+（a+2）}{2}$=-$\frac{1}{2}$即a=-$\frac{3}{2}$，則函數(shù)f（x）在[a，a+2]上最大值為f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{4}$；
②若$\frac{a+（a+2）}{2}$＜-$\frac{1}{2}$即a＜-$\frac{3}{2}$，則函數(shù)f（x）在[a，a+2]上最大值為f（a）=a²+1；
③若$\frac{a+（a+2）}{2}$＞-$\frac{1}{2}$即a＞-$\frac{3}{2}$，則函數(shù)f（x）在[a，a+2]上最大值為f（a+2）=a²+4a+7．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．