Question

【題目】有12支球隊(duì)進(jìn)行足球比賽,每兩隊(duì)都賽一場(chǎng),勝者得3分,負(fù)者得0分,平局各得1分那么,有1支球隊(duì)最少要得多少分才能保證最多有6支球隊(duì)的得分不少于該隊(duì)的得分?

Answer 1

【答案】23

【解析】

假設(shè)有7支球隊(duì)的得分與該隊(duì)得分相同,那么,這8支球隊(duì)每兩隊(duì)比賽一場(chǎng)的得分最多為3分所以,他們的得分最多為分,每隊(duì)的得分不能超過分,故每隊(duì)最多只能勝3場(chǎng).

現(xiàn)將12支球隊(duì)分成兩組,一組為8支得分相同的球隊(duì),另一組為另外4支球隊(duì).同在一組的8支球隊(duì)依次排成一圈,其中每隊(duì)勝他后面的3支隊(duì),并與第4支隊(duì)踢平,且負(fù)于另3支隊(duì).那么,這8支球隊(duì)的每隊(duì)得分最多為分(即同在一組的8支球隊(duì)都勝同組的3隊(duì)平1隊(duì)負(fù)于3隊(duì),勝另一組的4支隊(duì))

因此當(dāng)有8支球隊(duì)得分相同(有7支球隊(duì)的得分不少于該隊(duì))時(shí),每隊(duì)最多可得22分,故當(dāng)題設(shè)命題成立時(shí),該隊(duì)的得分不少于23分

下面證明:若有1支球隊(duì)至少得23分,那么,最多有6支球隊(duì)的得分不少于該隊(duì),否則,設(shè)有7支球隊(duì)得分不少于23分,那么,這8支球隊(duì)的得分不少于8×23=184分.另一方面,將12支球隊(duì)分成兩組,一組8支球隊(duì),另一組4支球隊(duì).同在一組的8支球隊(duì)的總分最多為分.但矛盾,所以,命題成立.