Question

1．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+2），且當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，f（x）=x²+2x．
（1）求當(dāng)x∈（3，5]時(shí)，f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（3，5]上的增減性并證明．

Answer 1

分析 （1）確定f（x）是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)x∈（3，5]時(shí)，x-4∈（-1，1]，即可當(dāng)x∈（3，5]時(shí)，f（x）的解析式；
（2）由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，可以得知f（x）在（3，5]上單調(diào)遞增，再用定義進(jìn)行證明．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+2）…①，
∴將x換為x+2，f（x+2）=-f（x+4）…②，
由①②式可得，f（x）=f（x+4），
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
（1）∵當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，f（x）=x²+2x．
∴當(dāng)x∈（3，5]時(shí)，x-4∈（-1，1]，∴f（x-4）=（x-4）²+2（x-4）=x²-6x+8，
故當(dāng)x∈（3，5]時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=x²-6x+8，x∈（3，5]．
（2）由（1）可知，當(dāng)x∈（3，5]時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=x²-6x+8，x∈（3，5]．
將解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得f（x）=（x-3）²-1，
由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，可以得知f（x）在（3，5]上單調(diào)遞增．
設(shè)x₁，x₂∈（3，5]且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-6x₁+8-（x₂²-6x₂+8）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-6），
∵x₁，x₂∈（3，4）且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂-6＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（3，5]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性，二次函數(shù)的單調(diào)性，利用定義研究函數(shù)的單調(diào)性，本題是一道中檔題．