Question

已知拋物線C：y²=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關(guān)于對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出A、B兩點坐標，利用對稱性，求出P的坐標，根據(jù)P在拋物線內(nèi)，建立不等式，即可可求出k的取值范圍．

解答： 解：設(shè)C上兩點A、B兩點關(guān)于l對稱，AB的中點為P（x₀，y₀）（₀≠0），
∴k_AB=

p

y0

=

1 2

y0

=-

1

k

，
∴y₀=-

1

2

k，
∵P∈l，
∴y₀=k（x₀-1）+1，
∴-

1

2

k=k（x₀-1）+1，
∴x₀=

1

2

-

1

k

，
∴P（

1

2

-

1

k

，-

1

2

k），
∵P在拋物線內(nèi)，
∴

1

4

k2＜

1

2

-

1

k

，
∴

k3-2k+4

4k

＜0，
∴

(k+2)(k2-2k+2)

4k

＜0，
∴-2＜k＜0．

點評：本題考查點關(guān)于線的對稱問題，兩條直線垂直的性質(zhì)，中點公式的應(yīng)用，屬于中檔題．