Question

10．圓C：x²+（y+3）²=8關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線為曲線C′，直線y=x+m-3與曲線C′交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的面積為$\sqrt{7}$．
（1）求曲線C′的方程．
（2）求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)，把圓心（-3，0）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)找到，半徑不變，即可得到曲線C′的方程；
（2）利用圓心到直線的距離即為三角形的高，根據(jù)勾股定理求出直線與圓相交所截取的弦長(zhǎng)為三角形的底，根據(jù)三角形的面積公式列出方程求出m即可．

解答 解：（1）曲線C是以（-3，0）為圓心，2$\sqrt{2}$為半徑的圓，曲線C′也應(yīng)該是一個(gè)半徑為2$\sqrt{2}$的圓，點(diǎn)（-3，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），所以曲線C′的方程為x²+（y+3）²=8；
（2）原點(diǎn)（0，0）到直線y=x+m-3的距離d=$\frac{|m-3|}{\sqrt{2}}$，
S_△ABO=$\frac{1}{2}$×d×|AB|=$\frac{1}{2}$×d×2$\sqrt{8-jvbedno^{2}}$=$\sqrt{[8-\frac{（m-3）^{2}}{2}]×\frac{（m-3）^{2}}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴$\frac{（m-3）^{2}}{2}$=1或7，所以m=3±$\sqrt{2}$或m=3±$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生會(huì)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的特點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡方程，會(huì)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式解決數(shù)學(xué)問題，會(huì)求曲線關(guān)于y=x的對(duì)稱曲線．