Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a=2，2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）若滿足條件的△ABC有且只有一個，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)△ABC的周長取最大值時，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換求得cosA 和sinA 的值，結(jié)合滿足條件的△ABC有且只有一個可得a=bsinA 或 a≥b，由此求得b的范圍．
（Ⅱ）△ABC的周長為a+b+c，利用余弦定理、基本不等式求得周長2+b+c最大值為2+2$\sqrt{10}$，此時，b=$\sqrt{10}$=c．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a=2，2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，
∴2${cos}^{2}\frac{π-A}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，即 2${sin}^{2}\frac{A}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，∴cosA-sinA=$\frac{1}{5}$，
平方可得sin2A=$\frac{24}{25}$，∴cosA+sinA=$\sqrt{{（cosA+sinA）}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
求得cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{3}{5}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），結(jié)合滿足條件的△ABC有且只有一個，∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）．
∴由正弦定理可得 a=bsinA，即2=$\frac{3}{5}$b，即 b=$\frac{10}{3}$；或 a≥b，即0＜b≤2，綜上可得，b∈（0，2]∪{$\frac{10}{3}$}．
（Ⅱ）由于△ABC的周長為a+b+c，
由余弦定理可得2²=b²+c²-2bc•$\frac{4}{5}$=（b+c）²-$\frac{18}{5}$bc≥（b+c）²-$\frac{18}{5}$•${（\frac{b+c}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{10}$•（b+c）²，
∴b+c≤$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取等號，此時，三角形的周長為 2+b+c最大為2+2$\sqrt{10}$，
故此時b=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．