Question

8．若函數(shù)為f（x）=x²-2mx-2m-1
（1）求f（x）＞0的解集；
（2）若f（x）＞-4m-2對滿足0≤x≤1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解x²-2mx-2m-1=0得：x=2m+1或x=-1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論2m+1與-1的大小，可得不等式f（x）＞0的解集．
（2）首先對提議進行轉(zhuǎn)換，考慮二次函數(shù)的對稱軸和已知區(qū)間之間的關(guān)系進行分類討論，最后求出參數(shù)的取值范圍．

解答 解：（1）解x²-2mx-2m-1=0得：x=2m+1或x=-1，
當2m+1＜-1，即m＜-1時，不等式f（x）＞0的解集是：（-∞，2m+1）∪（-1，+∞），
當2m+1=-1，即m=-1時，不等式f（x）＞0的解集是：（-∞，-1）∪（-1，+∞），
當2m+1＞-1，即m＞-1時，不等式f（x）＞0的解集是：（-∞，-1）∪（2m+1，+∞），
（2）若f（x）＞-4m-2對滿足0≤x≤1的所有實數(shù)x都成立，
即x²-2mx+2m+1＞0對滿足0≤x≤1的所有實數(shù)x都成立，
設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2mx+2m+1
所以函數(shù)是開口方向向上，對稱軸為x=m的拋物線．
由于g（x）=x²-2mx+2m+1在0≤x≤1的所有實數(shù)x對g（x）＞0都成立，
所以①當m＜0時，只需g（0）＞0成立即可．
即：2m+1＞0
解得：m＞-$\frac{1}{2}$所以：-$\frac{1}{2}$＜m＜0
②當0≤m≤1時，只需滿足f（m）＞0即可．
即：m²-2m²+2m+1＞0
解得：1-$\sqrt{2}$≤m≤1+$\sqrt{2}$所以：0≤m≤1
③當m＞1時，只需滿足f（1）＞0即可．
即：2＞0恒成立
所以：m＞1
綜上所述：m的取值范圍為：m＞-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．