【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點在線段上，且．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）存在，線段的長.

【解析】

（Ⅰ）在四邊形中,可以證明出，以為空間直角坐標(biāo)系的原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用，可以證明出；

（Ⅱ）求出平面的法向量、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求出向量夾角的余弦值的絕對值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求出二面角的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)存在線段上存在點，使得，設(shè)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用與平面的法向量垂直，可以求出的坐標(biāo)，進而求出線段的長.

（Ⅰ）在四邊形中，，，，根據(jù)勾股定理，可求出,利用勾股定理的逆定理可知：，以為空間直角坐標(biāo)系的原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

所以，因為，

所以，因此可求出坐標(biāo)為,

因為,所以;

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為,,

，

設(shè)平面的法向量為,

，

設(shè)的夾角為，；

（Ⅲ）設(shè)存在線段上存在點，使得，

,設(shè)平面的法向量為,

,

,

因為,所以,

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求圖中a的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；

(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù).

分數(shù)段

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

x∶y

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是圓上的一個動點，過點作兩條直線，它們與橢圓都只有一個公共點，且分別交圓于點.

（Ⅰ）若，求直線的方程；

（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點，都有成立；

②求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市為鼓勵人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策，不超過站的地鐵票價如下表：

乘坐站數(shù)

票價（元）

現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過站.甲、乙乘坐不超過站的概率分別為， ；甲、乙乘坐超過站的概率分別為， .

（1）求甲、乙兩人付費相同的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付費用之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）設(shè)．

①若函數(shù)在處的切線過點，求的值；

②當(dāng)時，若函數(shù)在上沒有零點，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，且（），求證：當(dāng)時， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex+ax2+bx（e為自然對數(shù)的底，a，b為常數(shù)），曲線y＝f（x）在x＝0處的切線經(jīng)過點A（﹣1，﹣1）

（1）求實數(shù)b的值；

（2）是否存在實數(shù)a，使得曲線y＝f（x）所有切線的斜率都不小于2？若存在，求實數(shù)a的取值集合，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓:交于兩點.

（1）若線段的中點為,求直線的方程;

（2）記直線與軸交于點,是否存在點,使得始終為定值?若存在,求點的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若不等式對于任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個極值點，，且，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線,曲線．以極點為坐標(biāo)原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）求的直角坐標(biāo)方程；

（2）與交于不同的四點，這四點在上排列順次為,求的值．

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