函數(shù)f(x)=3lnx+1,g(x)=
1
2
ax2+2x+b   
(1)f(x)與g(x)在交點P(1,1)處有相同的切線,求a,b值;
(2)若h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求導(dǎo)f′(x)=
3
x
,g′(x)=ax+2;從而由f(x)與g(x)在交點P(1,1)處有相同的切線得到f′(1)=g′(1),g(1)=
1
2
a+2+b=1,從而解得;
(2)化簡函數(shù)h(x)并求定義域,再求導(dǎo)h′(x)=
3
x
-(ax+2)=
3-ax2-2x
x
,從而化h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間為h′(x)<0有解,從而求得.
解答: 解:(1)由題意,f′(x)=
3
x
,g′(x)=ax+2;
∵f(x)與g(x)在交點P(1,1)處有相同的切線,
∴f′(1)=3=g′(1)=a+2,
g(1)=
1
2
a+2+b=1,
解得a=1,b=-
3
2
;
(2)h(x)=f(x)-g(x)=3lnx+1-(
1
2
ax2+2x+b)的定義域為(0,+∞),
h′(x)=
3
x
-(ax+2)=
3-ax2-2x
x

若使h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,
則只需使h′(x)<0有解,
即-ax2-2x+3<0在(0,+∞)上有解,
若a>0,成立,
若a=0,當x>
3
2
時成立;
若a<0,∵-
-2
-2a
=-
1
a
>0,
∴只需使△=4+4×3×a>0;
故-
1
3
<a<0;
綜上所述,a的取值范圍為(-
1
3
,+∞).
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),g(x)=4-x-m•(2-x)-9(m∈R),A={x|f(x)=x-2}.
(1)若A={1},解不等式f(x)>1;
(2)若b∈Z,-3∈A,x1,x2為方程f(x)=0的兩個實根,且
4
x1
+
1
x2
=-
1
2
,
①求b,c的值
②若對任意的t1∈[-2,2],總存在t2∈[-2,2],使得f(t1)=g(t2)成立,求m的取值范圍.

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試比較下列各式的大。ú粚戇^程)
(1)1-
2
2
-
3

(2)
2
-
3
3
-
4

通過上式請你推測出
n-1
-
n
n
-
n+1
(n≥2
且n∈N)的大小,并用分析法加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)點M是等腰直角三角形ABC的底邊AB的中點,P是直線AB上任意一點,PE⊥AC,E為垂足,PF⊥BC,F(xiàn)為垂足.求證:(1)|ME|=|MF|;  
(2)ME⊥MF.

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一個邊長為3
π
cm的正方形薄木板的正中央有一個直徑為2cm的圓孔,一只小蟲在木板的一個面內(nèi)隨機地爬行,則小蟲恰在離四個頂點的距離都大于2cm的區(qū)域的概率等于( 。
A、
1
2
B、
5
8
C、
4
9
D、
5
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如右圖).為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系,每隔500元一段要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查,則在[2500,3000)(元)月收入段應(yīng)抽出的人數(shù)為( 。
A、20B、25C、35D、45

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正四棱錐(底面是正方形,頂點在底面的射影是底面的中心)的底面邊長為a,側(cè)棱長為
2
a
(1)求它的外接球的體積
(2)求他的內(nèi)切球的表面積.

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設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=7,an+an+1=20,則{an}的前50項和為
 

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在平面直角坐標系中,曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移所產(chǎn)生的新雙曲線與原雙曲線具有相同的離心率和焦距,稱它們?yōu)橐唤M“任性雙曲線”;例如將等軸雙曲線x2-y2=2繞原點逆時針轉(zhuǎn)動45°,就會得到它的一條“任性雙曲線”y=
1
x
;根據(jù)以上材料可推理得出雙曲線y=
3x+1
x-1
的焦距為( 。
A、4
B、4
2
C、8
D、8
2

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同步練習(xí)冊答案