Question

10．求下列數(shù)列的最大或最小項對應(yīng)的n的值：
（1）a_n=$\frac{\sqrt{99}+n}{\sqrt{101}-n}$；
（2）a_n=$\frac{{n}^{2}+4n+69}{n+2}$．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=$\frac{\sqrt{99}+x}{\sqrt{101}-x}$（x≥1，$x≠\sqrt{101}$），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出；
（2）變形a_n=$\frac{（n+2）^{2}+65}{n+2}$=n+2+$\frac{65}{n+2}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）令f（x）=$\frac{\sqrt{99}+x}{\sqrt{101}-x}$（x≥1，$x≠\sqrt{101}$），
則f′（x）=$\frac{（\sqrt{101}-x）-（\sqrt{99}+x）×（-1）}{（\sqrt{101}-x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{101}+\sqrt{99}}{{（\sqrt{101}-x）}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在$[1，\sqrt{101}）$單調(diào)遞增，在$（\sqrt{101}，+∞）$單調(diào)遞增；
而f（1）=$\frac{\sqrt{99}+1}{\sqrt{101}-1}$＞0，f（11）=$\frac{\sqrt{99}+11}{\sqrt{101}-11}$＜0，
∴數(shù)列{a_n}有最小值f（11）=$\frac{\sqrt{99}+11}{\sqrt{101}-11}$，而無最大值．
（2）a_n=$\frac{（n+2）^{2}+65}{n+2}$=n+2+$\frac{65}{n+2}$≥$2\sqrt{（n+2）•\frac{65}{n+2}}$=2$\sqrt{65}$，等號不成立．
經(jīng)過驗證當(dāng)n=6時，a_n取得最小值$\frac{129}{8}$，無最大值．

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．