Question

12．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$，且點(diǎn)M和N分別為B₁C和D₁D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D₁-AC-B₁的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)E為棱A₁B₁上的點(diǎn)，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$，求線段A₁E的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、AB、AA₁所在直線分別為x、y、z軸建系，通過平面ABCD的一個(gè)法向量與$\overrightarrow{MN}$的數(shù)量積為0，即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過計(jì)算平面ACD₁的法向量與平面ACB₁的法向量的夾角的余弦值及平方關(guān)系即得結(jié)論；
（Ⅲ）通過設(shè)$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，利用平面ABCD的一個(gè)法向量與$\overrightarrow{NE}$的夾角的余弦值為$\frac{1}{3}$，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、AB、AA₁所在直線分別為x、y、z軸建系，
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0），
A₁（0，0，2），B₁（0，1，2），C₁（2，0，2），D₁（1，-2，2），
又∵M(jìn)、N分別為B₁C、D₁D的中點(diǎn)，∴M（1，$\frac{1}{2}$，1），N（1，-2，1）．
由題可知：$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一個(gè)法向量，$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{5}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{MN}$=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（I）可知：$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，2），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ACB₁的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
∵cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角D₁-AC-B₁的正弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（Ⅲ）解：由題意可設(shè)$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，其中λ∈[0，1]，
∴E=（0，λ，2），$\overrightarrow{NE}$=（-1，λ+2，1），
又∵$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{NE}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{NE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（-1）^{2}+（λ+2）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
整理，得λ²+4λ-3=0，解得λ=$\sqrt{7}$-2或-2-$\sqrt{7}$（舍），
∴線段A₁E的長為$\sqrt{7}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．