Question

2．設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=（1+x²）e^x-a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明f（x）在（-∞，+∞）上僅有一個零點；
（3）若曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，且在點M（m，n）處的切線與直線OP平行，（O是坐標原點），證明：m≤$\root{3}{a-\frac{2}{e}}$-1．

Answer 1

分析 （1）利用f′（x）＞0，求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間．
（2）證明只有1個零點，需要說明兩個方面：①函數(shù)單調(diào)；②函數(shù)有零點．
（3）利用導(dǎo)數(shù)的最值求解方法證明，思路較為復(fù)雜．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+2x+1）=e^x（x+1）²，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）=（1+x²）e^x-a在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．
（2）證明：∵f（0）=1-a，a＞1，
∴1-a＜0，即f（0）＜0，
∵f（$\sqrt{a}$）=（1+a）${e}^{\sqrt{a}}$-a=${e}^{\sqrt{a}}$+a（${e}^{\sqrt{a}}$-1），a＞1，
∴${e}^{\sqrt{a}}$＞1，${e}^{\sqrt{a}}$-1＞0，即f（$\sqrt{a}$）＞0，
且由（1）問知函數(shù)在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，+∞）上有且只有一個零點．
（3）證明：f′（x）=e^x（x+1）²，
設(shè)點P（x₀，y₀）則）f'（x）=e^x0（x₀+1）²，
∵y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，
∴f′（x₀）=0，即：e^x0（x₀+1）²=0，
∴x₀=-1，
將x₀=-1代入y=f（x）得y₀=$\frac{2}{e}-a$．
∴${k}_{op}=\frac{\frac{2}{e}-a}{-1}=a-\frac{2}{e}$，
∴$f'（m）={e}^{m}（m+1）^{2}=a-\frac{2}{e}$，
要證m≤$\root{3}{a-\frac{2}{e}}$-1，即證（m+1）³≤a-$\frac{2}{e}$，
需要證（m+1）³≤e^m（m+1）²，
即證m+1≤e^m，
因此構(gòu)造函數(shù)g（m）=e^m-（m+1），
則g′（m）=e^m-1，由g′（m）=0得m=0．
當m∈（0，+∞）時，g′（m）＞0，
當m∈（-∞，0）時，g′（m）＜0，
∴g（m）的最小值為g（0）=0，
∴g（m）=e^m-（m+1）≥0，
∴e^m≥m+1，
∴e^m（m+1）²≥（m+1）³，
即：$a-\frac{2}{e}≥（m+1）^{3}$，
∴m≤$\root{3}{a-\frac{2}{e}}-1$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值上的應(yīng)用，屬于綜合應(yīng)用，在高考中屬于壓軸題目，有較大難度．