Question

3．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎，若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）記事件A₁={從甲箱中摸出一個球是紅球}，事件A₂={從乙箱中摸出一個球是紅球}，事件B₁={顧客抽獎1次獲一等獎}，事件A₂={顧客抽獎1次獲二等獎}，事件C={顧客抽獎1次能獲獎}，利用A₁，A₂相互獨立，${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$，${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$互斥，B₁，B₂互斥，然后求出所求概率即可．
（2）顧客抽獎1次可視為3次獨立重復試驗，判斷X～B$（3，\frac{1}{5}）$．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．

解答 解：（1）記事件A₁={從甲箱中摸出一個球是紅球}，事件A₂={從乙箱中摸出一個球是紅球}，事件B₁={顧客抽獎1次獲一等獎}，事件B₂={顧客抽獎1次獲二等獎}，事件C={顧客抽獎1次能獲獎}，由題意A₁，A₂相互獨立，${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$，${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$互斥，B₁，B₂互斥，且B₁=A₁A₂，B₂=${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$+${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$，C=B₁+B₂，因為P（A₁）=$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，P（A₂）=$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，所以，P（B₁）=P（A₁）P（A₂）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{5}$，P（B₂）=P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$）+P（${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$）=$P（{A}_{1}）P（\overline{{A}_{2}}）$+$P（\overline{{A}_{1}}）P（{A}_{2}）$=$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{5}）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，故所求概率為：P（C）=P（B₁+B₂）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$．
（2）顧客抽獎1次可視為3次獨立重復試驗，由（1）可知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為：$\frac{1}{5}$$\begin{array}{c}，\end{array}\right.$所以．X～B$（3，\frac{1}{5}）$．于是，P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{5}）^{0}（{\frac{4}{5}）}^{3}$=$\frac{64}{125}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}{（\frac{1}{5}）}^{1}{（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{48}{125}$，P（X=2）=${C}_{3}^{2}{（\frac{1}{5}）}^{2}{（\frac{4}{5}）}^{1}$=$\frac{12}{125}$，P（X=3）=${C}_{3}^{3}{（\frac{1}{5}）}^{3}{（\frac{4}{5}）}^{0}$=$\frac{1}{125}$．
故X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

E（X）=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．

點評 期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學習期望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊，它在市場預測，經(jīng)濟統(tǒng)計，風險與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應用，為今后學習數(shù)學及相關(guān)學科產(chǎn)生深遠的影響．