Question

已知偶函數(shù)f（x）滿足對任意x∈R，均有f（1+x）=f（3-x）且f(x)=

m(1-x2)，x∈[0，1] x-1，x∈(1，2]

，若方程3f（x）=x恰有5個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，可求得偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，是以4為周期的函數(shù)，作出y=f（x）的圖象后，作圖分析即可求得答案．

解答： 解：∵f（1+x）=f（3-x），
∴偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；①，
又f（x）為偶函數(shù)，f（-x）=f（x），
∴f（4+x）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)；②
∵f(x)=

m(1-x2)，x∈[0，1] x-1，x∈(1，2]

，
方程3f（x）=x恰有5個實(shí)數(shù)解，
∴y=f（x）的圖象與y=

x

3

的圖象有5個交點(diǎn)，作圖如下：
當(dāng)m=0時，

此時兩個函數(shù)圖象只有3個交點(diǎn)，不滿足要求．
當(dāng)m＞0時，

此時m∈(

4

3

，

8

3

)，
同理，當(dāng)m＜0時，m∈(-

8

3

，-

4

3

)，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是：(-

8

3

，-

4

3

)∪(

4

3

，

8

3

)
故答案為：(-

8

3

，-

4

3

)∪(

4

3

，

8

3

)

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的對稱性、周期性的確定及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力，屬于難題．