Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+ln（x+1）-ax．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥cosx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用二次求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)的最小值等于零，判斷出原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)第一問結(jié)論，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對(duì)a進(jìn)行分類討論，當(dāng)a≤2時(shí)，利用單調(diào)性易證結(jié)論成立；當(dāng)a＞2時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)判斷得出不符合題意，最后得出a 的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f'（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-2，
記g（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-2，g'（x）=e^x-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g'（x）＜0，
∴f'（x）≥f'（0）=0，
∴f（x）在（-1，+∞）上遞增；
（Ⅱ）f'（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，由上可知f'（x）在（0，+∞）上遞增，
當(dāng)a≤2時(shí)，f'（x）≥f'（0）=2-a≥0，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（0）=1≥xosx恒成立；
當(dāng)a＜2時(shí)，記m（x）=f（x）-cosx，m'（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a+sinx，
記n（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a+sinx，n'（x）=e^x-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$+cosx，
當(dāng)x＞1時(shí)，n'（x）＞e-$\frac{1}{4}$-1＞0，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，n'（x）＞0，
∴m'（x）在（0，+∞）上遞增，
又m'（0）=2-a＜0，故存在x₀，使得m'（x₀）=0，
所以m（x）在（0，x₀）上遞減，當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，m（x）＜m（0）=0，
∴f（x）＜cosx不成立，
∴實(shí)數(shù)a的范圍是a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)的最值從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性．