Question

12．是否存在實數a，b，c，使得1²+2²+…n²=an³+bn²+cn對一切n∈N^*成立？若存在，求出實數a，b，c，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 存在a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{6}$，使得關于n的等式1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{3}$n³+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{6}$n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，n∈N^*成立．證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，遞推到n=k+1時，成立即可．

解答 解：存在a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{6}$，使得關于n的等式1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{3}$n³+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{6}$n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，n∈N^*成立
證明如下：
①當n=1時，等式成立．
②假設n=k（k∈N^*）時等式成立，
即1²+2²+3²+…k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$；
當n=k+1時，1²+2²+3²+…+（k+1）²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$+（k+1）²=$\frac{（k+1）[（k+1）+1][2（k+1）+1]}{6}$
即n=k+1時，等式成立．
因此存在a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{6}$，使得關于n的等式1²+2²+3²+…+n²=an³+bn²+cn，n∈N^*成立．

點評 本題主要考查研究存在性問題和數學歸納法，對存在性問題先假設存在，再證明是否符合條件，數學歸納法的關鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設的模型才能成立．