Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，則關(guān)于x的方程f（x）=（

1

10

）^x在x∈[0，4]上解的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的周期，再利用函數(shù)與方程思想把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，畫出函數(shù)的圖象，即可求解．

解答： 解：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函數(shù)的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，函數(shù)的周期為2，
∴原函數(shù)的對(duì)稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
分別畫出f（x）的圖象和y=（

1

10

）^x的圖象，如圖．
∴由圖象可以交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
∴f（x）=(

1

10

)^x在x∈[0，4]上解的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．