Question

4．已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則T=（a+$\frac{1}$）²+（b+$\frac{1}{a}$）²的最小值是$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 展開運用基本不等式求解即可得出a²+b²+2（$\frac{a}$$+\frac{a}$）$+\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{^{2}}$≥2ab+4+2×$\frac{1}{ab}$（僅當a=b=$\frac{1}{2}$時等號成立）運用等號成立的條件即可得出答案．

解答 解：∵正數(shù)a，b滿足a+b=1，
∴T=（a+$\frac{1}$）²+（b+$\frac{1}{a}$）²=a²+b²+2（$\frac{a}$$+\frac{a}$）$+\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{^{2}}$≥2ab+4+2×$\frac{1}{ab}$（僅當a=b=$\frac{1}{2}$時等號成立）
∵T=（a+$\frac{1}$）²+（b+$\frac{1}{a}$）²，
∴a=b=$\frac{1}{2}$
∴2ab+4+2×$\frac{1}{ab}$=2×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+4+2×$\frac{1}{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{25}{2}$
故答案為：$\frac{25}{2}$

點評 本題考查了基本不等式的運用，注意條件成立，多次運用時，條件一樣．