Question

14．已知μ（x）表示不小于x的最小整數(shù)，例如μ（0.2）=1．
（1）設(shè)A={x|μ（x+log₂x）＞m}，B=（$\frac{1}{2}$，2），若A∩B≠∅，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在區(qū)間（0，n）（n∈N⁺）上的值域為M_n，集合M_n中的元素個數(shù)為a_n，求證：${\;}_{n→+∞}^{lim}$$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+1}=\frac{1}{2}$；
（3）設(shè)g（x）=x+a$•\frac{μ（x）}{x}-2（a＞0）$，h（x）=$\frac{sinπx+2}{{x}^{2}-5x+7}$，若對于x₁，x₂（2，4]，都有g(shù)（x₁）＞h（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)μ（x）的定義，A∩B≠∅，可得μ（x+log₂x）的最大值為3，可得m＜3；
（2）由g（x）=μ（xμ（x）），依次求出數(shù)列{a_n}的前5項，再歸納出a_n=a_n-1+n，利用累加法求出a_n，運用數(shù)列的極限的計算公式，即可得證；
（3）對于x₁，x₂∈（2，4]，都有g(shù)（x₁）＞h（x₂），即有g(shù)（x₁）＞h（x₂）_max，由二次函數(shù)的最值和正弦函數(shù)的值域，可得g（x）的最大值為4，討論x∈（2，3]，當x∈（3，4]，結(jié)合新定義和分離參數(shù)，由二次函數(shù)的最值的求法，即可解得a的范圍．

解答 解：（1）由題意可得x＞0，且x+log₂x在（$\frac{1}{2}$，2）遞增，
即有$\frac{1}{2}$-1＜x+log₂x＜3，可得μ（x+log₂x）的最大值為3，
由A∩B≠∅，可得m＜μ（x+log₂x）的最大值，
即有m＜3，即m的范圍是（-∞，3）；
（2）證明：由題意易知：當n=1時，x∈（0，1]，所以μ（x）=1，所以μ（xμ（x））=1，
所以M₁={1}，a₁=1；
當n=2時，x∈（1，2]，所以μ（x）=2，所以μ（xμ（x））∈（2，4]，所以M₂={1，3，4}，a₂=3；
當n=3時，x∈（2，3]，所以μ（x）=3，所以μ（xμ（x））=μ（3x）∈（6，9]，
所以M₃={1，3，4，7，8，9}，a₃=6；
當n=4時，因為x∈（3，4]，所以μ（x）=4，所以μ（xμ（x））=μ（4x）}∈（12，16]，
所以M₄={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a₄=10；
當n=5時，因為x∈（4，5]，所以μ（x）=5，所以μ（xμ（x））=μ（5x）∈（20，25]，
所以M₅={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a₅=15，
由此類推：a_n=a_n-1+n，所以a_n-a_n-1=n，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1個式子相加得，a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
解得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{{n}^{2}+n}{2（{n}^{2}+1）}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{{n}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）對于x₁，x₂∈（2，4]，都有g(shù)（x₁）＞h（x₂），
即有g(shù)（x₁）＞h（x₂）_max，
由g（x）=$\frac{sinπx+2}{{x}^{2}-5x+7}$，當x=$\frac{5}{2}$時，x²-5x+7取得最小值$\frac{3}{4}$，
sinπx+2取得最大值1+2=3，即有g(shù)（x）取得最大值4．
當x∈（2，3]，有μ（x）=3，可得x+$\frac{3a}{x}$-2＞4，
即有3a＞x（6-x），當x=3時，x（6-x）取得最大值9，可得3a＞9，即為a＞3：
當x∈（3，4]，有μ（x）=3，可得x+$\frac{4a}{x}$-2＞4，
即有4a＞x（6-x），當x=3時，x（6-x）取得9，可得4a＞9，即為a＞$\frac{9}{4}$．
綜上可得a＞3．

點評 本題考查新定義的理解和應用，歸納推理，累加法求數(shù)列的通項公式，以及不等式恒成立問題的解法，難度較大．