Question

如表給出一個“三角形數(shù)陣”：

1 4       1 2 1 4     3 4 3 8 3 16   …

已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為a_ij（i≥j，i，j∈N^*），
（1）求a₈₃；
（2）試寫出a_ij關(guān)于i，j的表達(dá)式；
（3）記第n行的和為A_n，求數(shù)列{A_n}的前m項(xiàng)和B_m的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求出第一列的公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a₈₃；    
（2）利用等比數(shù)列的性質(zhì)寫出a_ij；
（3）利用錯誤相減法求出數(shù)陣中所有數(shù)之和．

解答： 解：（1）題意知，第一列公差為d=

1

2

-

1

4

=

1

4

，每行成等比數(shù)列，且公比q=

1

2

，
由已知a₈₁=

1

4

+(8-1)×

1

4

=2，
又a₈₃是第8行第3個數(shù)，
故a₈₃=a₈₁•q²=

1

2

；
（Ⅱ）∵a_i1=

1

4

+(i-1)•

1

4

=

i

4

，
∴a_ij=

i

4

•(

1

2

)j-1．
（Ⅲ）設(shè)數(shù)陣中第n行的所有數(shù)字之和為A_n，
則A_n=

n

4

(1+

1

2

+…+

1

2n-1

)=

n

2

-

1

2

×

n

2n

．
所求之和B_m=A₁+A₂+…+A_m=

1+2+…+n

2

-

1

2

（1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n

）．
設(shè)S=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n

，
則

1

2

S=1×

1

22

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，
兩式相減得

1

2

S=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=1-

1

2n

-n•

1

2n+1

∴B_m=

n(n+1)

4

-（1-

1

2n

-n•

1

2n+1

）=

n2+n-4

4

+

n+2

2n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．