Question

18．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，K（3，0）為定點(diǎn)，$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{KN}$=0，則$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$最小值為9．

Answer 1

分析 M在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1上，可設(shè)M（6cosα，3$\sqrt{3}$sinα）（0≤α＜2π），可得$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•$（\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN}）$=${\overrightarrow{KM}}^{2}$-$\overrightarrow{KM}•\overrightarrow{KN}$=（6cosα-3）²+（3$\sqrt{3}$sinα）²
=9（cosα-2）²，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：M在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1上，可設(shè)M（6cosα，3$\sqrt{3}$sinα）（0≤α＜2π），
則$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•$（\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN}）$=${\overrightarrow{KM}}^{2}$-$\overrightarrow{KM}•\overrightarrow{KN}$=${\overrightarrow{KM}}^{2}$=（6cosα-3）²+（3$\sqrt{3}$sinα）²
=36cos²α-36cosα+9+27sin²α=9cos²α-36cosα+36=9（cosα-2）²，
令cosα=t∈[-1，1]，則f（t）=9（t-2）²-9∈[9，18]．
∴當(dāng)cosα=1，sinα=0時(shí)，即取M（6，0），$\overrightarrow{KM}$•$\overrightarrow{NM}$最小值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性值域與二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．