Question

1．過點(diǎn)（0，1）作曲線L：y=lnx的切線，切點(diǎn)為A．又L與x軸交于B點(diǎn)，區(qū)城D由L、x軸與直線AB圍成，求區(qū)域D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析 求出A的坐標(biāo)和切線方程，則所求面積和體積均可用兩個(gè)定積分的差來表示．

解答 解：設(shè)切線方程為y=kx+1，切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a}}\\{ka+1=b}\\{lna=b}\end{array}\right.$，解得a=e²，b=2，∴A（e²，2）．
將y=0代入y=lnx得x=1，∴B（1，0）．
∴直線AB的方程為$\frac{y}{2}=\frac{x-1}{{e}^{2}-1}$，即y=$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$．
∴區(qū)域D的面積為${∫}_{1}^{{e}^{2}}lnxdx$-${∫}_{1}^{{e}^{2}}$（$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$）dx=（xlnx-x）${|}_{1}^{{e}^{2}}$-（$\frac{{x}^{2}-2x}{{e}^{2}-1}$）${|}_{1}^{{e}^{2}}$=2．
區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體體積為π•${∫}_{1}^{{e}^{2}}（lnx）^{2}dx$-$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×（{e}^{2}-1）$=π•x[（lnx）²-2lnx+2]|$\underset{\stackrel{{e}^{2}}{\;}}{1}$-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=（2e²-2）•π-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=$\frac{2π{（e}^{2}-1）}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了定積分在求面積、體積中的應(yīng)用，是中檔題．