Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；
（1）求m的值；
（2）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；可得$\frac{m}{（2-1）^{2}}$=1，解得m即可得出．
（2）由 （1）可得f（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$．（x＜1）．?x₁＜x₂＜1，只要證明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．

解答 （1）解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；
∴$\frac{m}{（2-1）^{2}}$=1，解得m=1．
（2）證明：由 （1）可得f（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$．（x＜1）．
?x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{（{x}_{1}-1）^{2}}$-$\frac{1}{（{x}_{2}-1）^{2}}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}-2）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{[（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）]^{2}}$，
∵x₁＜x₂＜1，
∴x₁+x₂＜2，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．