Question

7．如圖，甲船從A處以每小時(shí)30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A北偏西105°方向用與B相距10$\sqrt{2}$ 海里處．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)C處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處，此時(shí)兩船相距10海里．
（1）求乙船每小時(shí)航行多少海里？
（2）在C的北偏西30°方向且與C相距$\frac{8\sqrt{3}}{3}$海里處有一個(gè)暗礁E，周圍$\sqrt{2}$海里范圍內(nèi)為航行危險(xiǎn)區(qū)域．問：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險(xiǎn)？若有危險(xiǎn)，則從有危險(xiǎn)開始，經(jīng)過多少小時(shí)后能脫離危險(xiǎn)？若無危險(xiǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AD，CD，推斷出△ACD是等邊三角形，在△ABD中，利用余弦定理求得BD的值，進(jìn)而求得乙船的速度．
（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系，危險(xiǎn)區(qū)域在以E為圓心，r=$\sqrt{2}$的圓內(nèi)，求出E到直線BD的距離，與半徑比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，連接AD，CD，由題意CD=10，AC=$\frac{20}{60}×30$=10，∠ACD=60°
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD=10，
∵∠DAB=45°
△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2AB×AD×cos45°}$=10，
∴v=10×3=30海里．
答：乙船每小時(shí)航行30海里．
（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系，危險(xiǎn)區(qū)域在以E為圓心，r=$\sqrt{2}$的圓內(nèi)，直線BD的方程為y=$\sqrt{3}$x，∠DAB=∠DBA=45°

E的坐標(biāo)為（ABcos15°-CEsin30°，ABsin15°+CEcos30°+AC），
求得A（5$\sqrt{3}$+5，5$\sqrt{3}$-5），C（5$\sqrt{3}$+5，5$\sqrt{3}$+5），E（5+$\frac{11\sqrt{3}}{3}$，9+5$\sqrt{3}$），
E到直線BD的距離d₁=$\frac{|5\sqrt{3}+11-9-5\sqrt{3}|}{2}$=1＜$\sqrt{2}$，故乙船有危險(xiǎn)；
點(diǎn)E到直線AC的距離d₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＞$\sqrt{2}$，故甲船沒有危險(xiǎn)．
以E為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓截直線BD所得的弦長(zhǎng)分別為l=2$\sqrt{{r}^{2}-{liaxerz_{1}}^{2}}$=2，
乙船遭遇危險(xiǎn)持續(xù)時(shí)間為t=$\frac{2}{30}$=$\frac{1}{15}$（小時(shí)），
答：甲船沒有危險(xiǎn)，乙船有危險(xiǎn)，且在遭遇危險(xiǎn)持續(xù)時(shí)間$\frac{1}{15}$小時(shí)后能脫離危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．要能綜合運(yùn)用余弦定理，正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了綜合分析問題和解決實(shí)際問題的能力．