Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為a（a≠0），前n項和為S_n，且有S_n+1=tS_n+a（t≠0），b_n=S_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當(dāng)t=1時，若對任意n∈N^*，都有|b_n|≥|b₅|，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)t≠1時，若c_n=2+

n

i=1

bi，求能夠使數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列的所有數(shù)對（a，t）．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列遞推式求得首項，得到a_n+1=a_nt，由此說明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）當(dāng)t=1時，S_n=na，b_n=na+1，b_n+1-b_n=a，得到{b_n}為等差數(shù)列．當(dāng)a＞0時，{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，且對任意n∈N^*，a_n＞0恒成立，不合題意．當(dāng)a＜0時，{b_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，由題意知得b₄＞0，b₆＜0，結(jié)合|b_n|≥|b₅|去絕對值后求解a的取值范圍；
（3）求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，代入b_n=S_n+1求得b_n，進(jìn)一步代入c_n=2+

n

i=1

bi，由等比數(shù)列通項的特點列式求得a，t的值．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，由S₂=tS₁+a，解得a₂=at，
當(dāng)n≥2時，S_n=tS_n-1+a，
∴S_n+1-S_n=t（S_n-S_n-1），即a_n+1=a_nt，
又∵a₁=a≠0，
綜上有

an+1

an

=t(n∈N*)，
∴{a_n}是首項為a，公比為t的等比數(shù)列，
∴an=atn-1；
（2）當(dāng)t=1時，S_n=na，b_n=na+1，b_n+1-b_n=a，此時{b_n}為等差數(shù)列；
當(dāng)a＞0時，{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，且對任意n∈N^*，a_n＞0恒成立，不合題意；
當(dāng)a＜0時，{b_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，由題意知得b₄＞0，b₆＜0，且有

b4≥|b5| -b6≥|b5|

，解得-

2

9

≤a≤-

2

11

．
綜上a的取值范圍是[-

2

9

，-

2

11

]；
（3）∵t≠1，bn=1+

a

1-t

-

atn

1-t

，
∴cn=2+(1+

a

1-t

)n-

a

1-t

(t+t2+…+tn)
=2+(1+

a

1-t

)n-

a(t-tn+1)

(1-t)2

=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

(1-t)2

，
由題設(shè)知{c_n}為等比數(shù)列，
∴有

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

，解得

a=1 t=2

，
即滿足條件的數(shù)對是（1，2）．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．