Question

定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）滿(mǎn)足對(duì)任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），記數(shù)列a_n=f（2ⁿ），有以下命題：
①f（1）=0；
②a₁=a₂；
③令函數(shù)g（x）=xf（x），則g（x）+g（

1

x

）=0；
④令數(shù)列b_n=2ⁿ•a_n，則數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
其中正確命題的為（　　）

• A、①②③
• B、①②
• C、②③
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=1代入所給的式子求出f（1）的值，并判斷①真假；
令x=y=2代入式子化簡(jiǎn)，再結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行判斷②的真假；
令y=

1

x

代入式子化簡(jiǎn)后，再由函數(shù)g（x）的解析式轉(zhuǎn)化，判斷③真假；
利用{b_n}的通項(xiàng)公式分別求出b₁、b₂、b₃，令x=2，y=4代入式子化簡(jiǎn)后，再由等比數(shù)列的定義判斷④真假．

解答： 解：令x=y=1，代入xyf（xy）=xf（x）+yf（y）得，f（1）=0，①正確；
令x=y=2，得4f（4）=2f（2）+2f（2），即f（4）=f（2），
又由a_n=f（2ⁿ）得，a₁=f（2），a₂=f（4），則a₁=a₂，②正確；
令y=

1

x

，得f（1）=xf（x）+

1

x

f(

1

x

)
由g（x）=xf（x），得g（x）+g（

1

x

）f（1）=0，③正確；
由b_n=2ⁿ•a_n，得b₁=2a₁，b₂=4a₂，b₃=8a₃，而a₁=a₂，a₃=f（8），
令x=2，y=4，得8f（8）=2f（2）+4f（4），
化簡(jiǎn)得，f（8）=

3

4

f（2），即a₃=

3

4

a₂=

3

4

a₁，
顯然b₁、b₂、b₃不是等比數(shù)列中的項(xiàng)，所以數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列，④錯(cuò)．
故其中正確命題的為：①②③．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)，及數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列定義的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件正確給x和y值，利用恒等式進(jìn)行求解，考查了解決抽象函數(shù)問(wèn)題常用的方法：賦值法．