Question

已知函數(shù)f（x）是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x-1，則不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出函數(shù)f（x）的解析式，利用不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：若x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，此時f（-x）=-x-1，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=-x-1=f（x），即f（x）=-x-1，x∈[-2，0]，
若x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]，
∵函數(shù)的周期是4，∴f（x）=f（x-4）=-（x-4）-1=3-x，
即f（x）=

-x-1， -2≤x≤0 x-1， 0≤x≤2 3-x， 2≤x≤4

，作出函數(shù)f（x）在[-1，3]上圖象如圖，
若0＜x≤3，則不等式xf（x）＞0等價為f（x）＞0，此時1＜x＜3，
若-1≤x≤0，則不等式xf（x）＞0等價為f（x）＜0，此時-1＜x＜0，
綜上不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集為（1，3）∪（-1，0），
故答案為：（1，3）∪（-1，0）

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和周期性求出對應(yīng)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．