Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-a（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處取得極值，求實數(shù)a的值；并求此時f（x）在[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）在x=0處取得極值，則f′（0）=1+a=0，解得a=-1，求得極小值2，也為最小值，再求f（-2）和f（1），比較即可得到最大值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）不存在零點，即為e^x+ax-a=0無實數(shù)解，討論x=1和若x≠1，即有-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，可得0＜-a＜e²，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為R，f′（x）=e^x+a，
由函數(shù)f（x）在x=0處取得極值，
則f′（0）=1+a=0，解得a=-1，
即有f（x）=e^x-x+1，f′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時，有f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞0時，有f′（x）＞0，f（x）遞增．
則x=0處f（x）取得極小值，也為最小值，且為2，
又f（-2）=e^-2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），
即有f（-2）為最大值e^-2+3；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）不存在零點，即為
e^x+ax-a=0無實數(shù)解，
由于x=1時，e+0=0顯然不成立，即有a∈R且a≠0．
若x≠1，即有-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
當(dāng)x＞2時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)x＜1和1＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=2處g（x）取得極小值，為e²，
在x＜1時，g（x）＜0，
則有0＜-a＜e²，
解得-e²＜a＜0，
則實數(shù)a的取值范圍為（-e²，0）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查函數(shù)的零點問題，注意函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，考查運算能力，屬于中檔題．