Question

【題目】已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為．直線恰好經(jīng)過(guò)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦， ．

①設(shè)中點(diǎn)分別為，證明：直線必過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；

②若直線， 的斜率均存在時(shí)，求由四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ．

【解析】試題分析：(1)首先根據(jù)與圓相切的兩條直線求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得直線的方程，由此可求得橢圓的方程；(2) ①直線斜率均存在，設(shè)出直線、的方程，然后分別聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合中點(diǎn)求得斜率，從而求得定點(diǎn)；②將①中直線的方程代入橢圓方程中，然后將的長(zhǎng)度表示出來(lái)，再結(jié)合基本不等式即可求出范圍．

試題解析：(1)過(guò)作圓的切線，一條切線為直線，切點(diǎn).

設(shè)另一條切線為，即.

因?yàn)橹本�與圓相切，則，解得，所以切線方程為.

由，解得，直線的方程為,即.

令，則所以上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以；令，則，

所以右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以橢圓的方程為.

(2) ①若直線斜率均存在，設(shè)直線,則中點(diǎn). 先考慮的情形.

由得.

由直線過(guò)點(diǎn)，可知判別式恒成立.

由韋達(dá)定理，得，故，

將上式中的換成，則同理可得.

若，得，則直線斜率不存在. 此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).

下證動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn).

② 當(dāng)直線的斜率均存在且不為時(shí)，

由①可知，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得,

所以

.

同理， ，

，

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，即，

所以，由四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍為.