Question

17．已知橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，橢圓左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4．設(shè)P為橢圓上不同于A、B的任一點(diǎn)，作PQ⊥x軸，Q為垂足．M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l：x=b于點(diǎn)C，D為線段BC中點(diǎn)（如圖）．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：△OMD是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）A（-1，0），B（1，0），直線l：x=1．設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），可得點(diǎn)M，把P代入橢圓方程可得$4x_0^2+y_0^2=4$．得出直線AM的方程，令x=1，得C（1，$\frac{y_0}{{{x_0}+1}}$），可得D（1，$\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}$）．再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可證明．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴橢圓的方程為$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（2）證明：A（-1，0），B（1，0），直線l：x=1．
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），可得點(diǎn)$M（{x_0}，\frac{y_0}{2}）$，且$4x_0^2+y_0^2=4$，
直線AM：$y=\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}（x+1）$，令x=1，得C（1，$\frac{y_0}{{{x_0}+1}}$），∴D（1，$\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}$）．
∴$\overrightarrow{OM}=（{x_0}，\frac{y_0}{2}）$，$\overrightarrow{DM}=（{x_0}-1，\frac{y_0}{2}-\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}）=（{x_0}-1，\frac{{{x_0}{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}）$．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{DM}=（{x_0}，\frac{y_0}{2}）•（{x_0}-1，\frac{{{x_0}{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}）={x_0}（{x_0}-1）+\frac{{{x_0}y_0^2}}{{4（{x_0}+1）}}=\frac{{{x_0}（4x_0^2-4+y_0^2）}}{{4（{x_0}+1）}}$，
∵$4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=4，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{DM}$=0，
∴∠OMD=90°．  
故△OMD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、向量垂直與數(shù)量積直之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．