Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2 ，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，且FO⊥平面ABCD，F(xiàn)O= ．

（1）求BF與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求三棱錐O﹣ADE的體積；
（3）求證：平面AEF⊥平面BCF．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BO，因為正方形ABCD的邊長為2 ，所以BD⊥AC，且DB=AC=4，又O為GC的中點，所以GO=1，GB=2，BO= ）

又FO⊥平面ABCD，且 ，所以∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角

所以，tan∠FBO=

（2）解：由上知，AO=3，所以S△ADO= = =3

又BDEF是平行四邊形，且FO⊥平面ABCD， ，所以三棱錐E﹣ADO的高為

所以VO﹣ADE=VE﹣ADO= =

（3）證明：由正方形ABCD知BD⊥AC．因為FO⊥平面ABCD，所以BD⊥FO，

從而BD⊥平面ACF，得BD⊥CF．因為BD∥EF，所以CF⊥EF．

由（1）知AC=4，OC=1，AO=3，又 ，故有 ，F(xiàn)C=2，

因AF2+FC2=AC2，所以CF⊥AF，由于EF∩AF=F，

所以CF⊥平面AEF，而CF平面BCF，

所以平面AEF⊥平面BCF

【解析】（1）證明∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角，即可求BF與平面ABCD所成的角的正切值；（2）利用VO﹣ADE=VE﹣ADO ， 求三棱錐O﹣ADE的體積；（3）證明CF⊥平面AEF，即可證明平面AEF⊥平面BCF．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．