【題目】已知無窮數(shù)列的各項都是正數(shù),其前項和為,且滿足:,,其中,常數(shù).
(1)求證:是一個定值;
(2)若數(shù)列是一個周期數(shù)列(存在正整數(shù),使得對任意,都有成立,則稱為周期數(shù)列,為它的一個周期),求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列是各項均為有理數(shù)的等差數(shù)列,(),問:數(shù)列中的所有項是否都是數(shù)列中的項?若是,請說明理由;若不是,請舉出反例.
【答案】(1)見解析 (2) 最小周期為.(3)不是,見解析
【解析】
(1)由rSn=anan+1﹣1,利用迭代法得:ran+1=an+1(an+2﹣an),由此能夠證明an+2﹣an為定值.
(2)當(dāng)n=1時,ra=aa2﹣1,故a2,根據(jù)數(shù)列是隔項成等差,寫出數(shù)列的前幾項,再由r>0和r=0兩種情況進(jìn)行討論,能夠求出該數(shù)列的周期.
(3)因為數(shù)列{an}是一個有理等差數(shù)列,所以a+a=r=2(r),化簡2a2﹣ar﹣2=0,解得a是有理數(shù),由此入手進(jìn)行合理猜想,能夠求出Sn.
(1)由 ①, 得 ②
②-①,得,
因為,所以(定值).
(2)當(dāng)時,,故,,
根據(jù)(1)知,數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列,公差都是,所以,
,,
當(dāng)時,的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是遞增的,不可能是周期數(shù)列,
所以,所以,,所以,數(shù)列.
(3)因為數(shù)列是有理項等差數(shù)列,由,,,得
,整理得,
得(負(fù)根舍去),
因為是有理數(shù),所以是一個完全平方數(shù),設(shè)(),
當(dāng)時,(舍去).
當(dāng)時,由,得,
由于,,所以只有,符合要求,
此時,數(shù)列的公差,所以().
對任意,若是數(shù)列中的項,令,即,
則,時,,時,,
故不是數(shù)列中的項.
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【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0),直線l交C于A,B兩點,且A,B兩點與原點不重合,點M(1,2)為線段AB的中點.
(1)若直線l的斜率為1,求拋物線C的方程;
(2)分別過A,B兩點作拋物線C的切線,若兩條切線交于點S,證明點S在一條定直線上.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點,直線l與曲線C相交于A,B兩點,求的值.
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【題目】近年來,共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾,某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評價反饋系統(tǒng),以了解用戶對車輛狀況和優(yōu)惠活動的評價,現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出條較為詳細(xì)的評價信息進(jìn)行統(tǒng)計,車輛狀況和優(yōu)惠活動評價的列聯(lián)表如下:
對優(yōu)惠活動好評 | 對優(yōu)惠活動不滿意 | 合計 | |
對車輛狀況好評 | |||
對車輛狀況不滿意 | |||
合計 |
(1)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評之間有關(guān)系?
(2)為了回饋用戶,公司通過向用戶隨機(jī)派送每張的面額為元,元,元的三種騎行券,用戶每次使用掃碼用車后,都可獲得一張騎行券,用戶騎行一-次獲得元券,獲得元券的概率分別是,且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨立.若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車,記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:下邊的臨界值表僅供參考:
(參考公式:,其中)
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【題目】給出下列命題:
(1)存在實數(shù)使;
(2)直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;
(3)()的值域是;
(4)若,都是第一象限角,且,則.
其中正確命題的序號為( )
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若存在不相等的實數(shù),,使得,證明:.
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【題目】已知數(shù)列中,已知,對任意都成立,數(shù)列的前n項和為.
(1)若是等差數(shù)列,求k的值;
(2)若,,求;
(3)是否存在實數(shù)k,使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項,,按某順序排列后成等差數(shù)列?若存在,求出所有k的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示的幾何體中,正方形所在平面垂直于平面,四邊形為平行四邊形,為上一點,且平面,.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時,求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,若、、是的三條邊長,則下列結(jié)論:①對于一切都有;②存在使、、不能構(gòu)成一個三角形的三邊長;③為鈍角三角形,存在,使,其中正確的個數(shù)為______個
A. 3B. 2C. 1D. 0
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