Question

【題目】已知函數，

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，證明：，

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）見解析；

【解析】

（1）求出導數，討論a的取值范圍，求出單調區(qū)間；

（2）由（1）得函數函數在內的最小值為，根據題意轉化為在恒成立即可.

（1）,因為，

當時，，函數在（0，1）內單調遞減，在內單調遞增；

當時，即，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；

當時，，函數在內單調遞增；

當時，即，函數在（0，1）內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；

綜上：當時，在（0，1）內單調遞減，在內單調遞增；

當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；

當時，在內單調遞增；

當時，在（0，1）內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.

（2）當時，由（1）可得函數在內單調遞減，在內單調遞增，

函數在內的最小值為，

要證：不等式成立，

即證：，

即證：，，

即證：，

令，

則函數在內單調遞減，，因為，

則，即當時，成立

則當時，成立.