Question

8．已知F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0）的左右焦點，P是橢圓上任一點，從焦點F₂引∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為Q，則Q點軌跡為以原點為圓心，a為半徑的圓．

Answer 1

分析 延長F₁P，與F₂Q的延長線交于M點，連接QO，根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OQ的長恰好等于橢圓的長半軸a，得動點Q的軌跡方程為x²+y²=a²，從而解得．

解答 解：由題意，延長F₁P，與F₂Q的延長線交于M點，連接QO，
∵PQ是∠F₂PM的平分線，且PQ⊥MF₂；
∴△F₂MP中，|PF₂|=|PM|且Q為MF₂的中點，
由三角形中位線定理，得|OQ|=$\frac{1}{2}$|MF₁|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）
∵由橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，（2a是橢圓的長軸）；
可得|MP|+|PF₁|=2a，
∴|OQ|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）=a，可得動點Q的軌跡方程為x²+y²=a²
∴點Q的軌跡為以原點為圓心，a為半徑的圓．
故答案為：以原點為圓心，a為半徑的圓．

點評 本題在橢圓中求動點Q的軌跡，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的判定和三角形中位線定理等知識，屬于中檔題．